Книга содержит стандартный университетский курс действительного и функционального анализа, рассчитанный на три семестра и включающий весь дополнительный материал по функциональному анализу и теории функций действительного переменного, входящий в программу кандидатского минимума по специальности "Математический анализ". Кроме того, в нескольких десятках разделов, набранных более мелким шрифтом, представлена обширная коллекция ярких и интересных фактов из разных разделов теории функций и функционального анализа - как классических, так и современных. Все основные результаты и понятия проиллюстрированы большим числом примеров. Имеется более 500 упражнений. По всем разделам даны библиографические указания, призванные помочь дальнейшему профессиональному совершенствованию читателя в теории функций и функциональном анализе и познакомить его с последними достижениями.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов физико-математических, инженерно-математических и экономических специальностей, а также на широкий круг научных работников в теоретических и прикладных областях математики.

Предисловие

Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.1. Элементы теории множеств
1.2. Метрические пространства
1.3. Непрерывные отображения
1.4. Принцип сжимающих отображений
1.5. Теорема Бэра о категории
1.6. Топологические пространства
1.7. Компактные множества и их свойства
1.8. Критерии компактности
1.9. Дополнения и задачи

Глава 2. Основы теории меры
2.1. Вводные замечания
2.2. Алгебры и δ-алгебра
2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
2.6. Знакопеременные меры
2.7. Дополнения и задачи

Глава 3. Интеграл Лебега
3.1. Измеримые функции
3.2. Сходимость по мере и почти всюду
3.3. Конструкция интеграла Лебега
3.4. Предельный переход под знаком интеграла
3.5. Пространство L¹
3.6. Признаки интегрируемости
3.7. Связь с интегралом Римана
3.8. Неравенства Гёльдера и Минковского
3.9. Теорема Радона-Никодима
3.10. Произведение пространств с мерами
3.11. Теорема Фубини
3.12. Дополнения и задачи

Глава 4. Связь интеграла и производной
4.1. Дифференцируемые функции
4.2. Функции ограниченной вариации
4.3. Абсолютно непрерывные функции
4.4. Формула Ньютона-Лейбница
4.5. Дополнения и задачи

Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.1. Нормированные пространства
5.2. Примеры
5.3. Шары в нормированных пространствах
5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
5.6. Дополнения и задачи

Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.1. Норма и непрерывность оператора
6.2. Теорема о замкнутом графике
6.3. Теорема Хана-Банаха
6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
6.6. Слабая и *-слабая топология
6.7. Компактность в *-слабой топологии
6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
6.9. Компактные операторы
6.10. Дополнения и задачи

Глава 7. Спектральная теория
7.1. Спектр оператора
7.2. Квадратичная форма и спектр самосопряженного оператора
7.3. Спектр компактного оператора
7.4. Альтернатива Фредгольма
7.5. Теорема Гильберта-Шмидта
7.6. Унитарные операторы
7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов
7.8. Функциональная модель
7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
7.10. Дополнения и задачи

Глава 8. Локально выпуклые пространства и обобщенные функции
8.1. Локально выпуклые пространства
8.2. Линейные отображения
8.3. Отделение выпуклых множеств
8.4. Обобщенные функции
8.5. Производная обобщенной функции
8.6. Дополнения и задачи

Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.1. Преобразование Фурье в L¹
9.2. Преобразование Фурье в L²
9.3. Преобразование Фурье в S′
9.4. Свертка
9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки
9.6. Преобразование Лапласа
9.7. Применение к дифференциальным уравнениям
9.8. Пространства Соболева W^p,k
9.9. Описание W^2,k через преобразование Фурье
9.10. Дополнения и задачи

Глава 10. Неограниченые операторы и теория полугрупп
10.1. Графики и сопряженные
10.2. Симметричные и самосопряженные операторы
10.3. Спектральная теорема
10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов
10.5. Полугруппы операторов
10.6. Генераторы полугрупп
10.7. Дополнения и задачи

Глава 11. Банаховы алгебры
11.1. Основные определения
11.2. Идеалы
11.3. Спектры
11.4. Функциональные исчисления
11.5. Коммутативные банаховы алгебры
11.6. Структура С*-алгебр
11.7. Дополнения и задачи

Глава 12. Бесконечномерный анализ
12.1. Дифференцируемость и производные
12.2. Свойства дифференцируемых отображений
12.3. Обратные и неявные функции
12.4. Производные высших порядков
12.5. Дополнения и задачи

Комментарии
Примерные экзаменационные программы
Литература
Предметный указатель